初中数学知识点总结七年级1.7.2：求绝对值最小值的方法-奇点偶段法

初中数学知识点总结七年级1.7.2：求绝对值最小值的方法-奇点偶段法

在初中数学中，所谓的“奇点偶段法”并非严格意义上的数学术语，而是部分教师或教材中对“利用中位数求解绝对值表达式的最小值”，这一方法的形象化总结。其核心思想是通过分析绝对值的几何意义（数轴上的距离），找到使多个距离之和最小的关键点——中位数。

例1：奇数个点（奇点）求函数 ƒ(x)=∣x−1∣+∣x−3∣+∣x−5∣ 的最小值。

1、确定点的顺序：将数值从小到大排列为 1, 3, 5（共3个点，奇数个）。

2、找中位数：中间点为 3。

3、代入计算：ƒ(3)=∣3−1∣+∣3−3∣+∣3−5∣=2+0+2=4。此时最小值为 4。

例2：偶数个点（偶段）求函数 ƒ(x)=∣x−2∣+∣x−4∣+∣x−6∣+∣x−8∣ 的最小值。

1、确定点的顺序：排列为 2, 4, 6, 8（共4个点，偶数个）。

2、找中间区间：中间两数为 4 和 6，区间为 [4, 6]。

3、验证区间内的值：

当 x=4 时，ƒmin(4)=2+0+2+4=8。

当 x=5 时，ƒmin(5)=3+1+1+3=8。

当 x=6 时，ƒmin(6)=4+2+0+2=8。

最小值为 8，且在 4 ≤ x ≤ 6 时均成立。

为什么有效？

几何意义：绝对值 ∣x−a∣ 表示数轴上点 x 到点 a 的距离。要求总和最小，相当于找一个点 x，使其到所有a
i的距离之和最短。

中位数的性质：中位数能使两侧的点到它的距离之和最小，这是统计学中的经典结论。

总结步骤

1、将绝对值中的常数项按大小排序。

2、根据个数奇偶性确定中位数或中间区间。

3、代入计算验证最小值。

这种方法通过直观的“值奇点偶段法”，简化了复杂的代数运算，是解决绝对值最小值问题的高效工具！